克雷西 发自 凹非寺
量子位 | 公众号 QbitAI
「AI不可能对最尖端的数学家有任何影响」……吗？
说出这句话的丘成桐，现在已经用上AI辅助研究了。
而且解决的问题，还是44年前他亲自列入自己的问题清单的。
丘成桐参与的最新论文，在致谢里感谢了GPT 6 Astra和Claude Pro，说它们帮忙探索了部分证明思路和计算。
这篇论文处理的是微分几何里的一个经典猜想。
问题关注的是七维空间，当中的球面有28种不同的「版本」，其中27种和我们熟悉的球面微妙地不同，数学上叫「怪球」。
数学家一直想知道，这些怪球能不能像普通球面一样，每个地方都均匀地向内弯。
怪球1956年就被发现了，但这个弯曲的问题悬了70年。丘成桐1982年把它列进自己的问题清单，排第二位。
现在，这篇AI辅助的论文终于给出了答案。
七维空间的27种「怪球」
1956年，美国数学家米尔诺（John Milnor）构造出了一种奇怪的东西。
它和标准的七维球面在拓扑上完全一样，你可以把它想象成一团橡皮泥，随便揉捏、拉伸，都能变成普通的球面。
但是如果你禁止揉捏，只允许光滑地变形，也就是每一个点的移动方式都平缓过渡、不许有突变，它就变不回去了。
这种球面和标准球面「形状一样，手感不同」，数学上叫做「怪球」（exotic sphere）。
米尔诺凭借这个发现拿了菲尔兹奖。
七年之后，科维尔（Kervaire）和米尔诺证明，七维空间里这种「光滑版本」一共有28种。
标准球面算其中一种，其余27种都是怪球，这28种构成一个代数结构，数学上记作Θ₇ ≅ Z/28Z。
标准球面有一个很好的性质，它的「截面曲率」（sectional curvature）处处为正。
通俗地说，就是这个球面的每一小块、从每一个角度去看，都是向内弯曲的，没有任何一个地方是平的或者向外翻的。
数学家自然想知道，另外那27个怪球，能不能也做到这一点。
最先取得突破的是格罗莫尔（Gromoll）和迈耶（Meyer）。1974年，他们在一个怪球上构造出了「非负曲率」的度量。
也就是说，这个怪球的每一小块要么向内弯，要么刚好是平的，但不会向外翻。
2020年，格特（Goette）、凯林（Kerin）和尚卡尔（Shankar）把这个结果推广到了全部28种球面，证明每一种都能配上非负曲率的度量。
但从「非负」到「正」，也就是从「允许有些地方不弯」到「每个地方都必须弯」，中间还差最后一步。
这一步看似微小，实际上卡了数学界半个多世纪。
2008年，彼得森（Petersen）和威尔海姆（Wilhelm）曾经发布预印本声称在一个怪球上做到了正曲率，但他们的证明始终没有通过同行评审。
丘成桐参与的这篇论文宣称补上了从「非负」到「正」的这一步，它证明28种七维球面，每一种都能配上截面曲率严格为正的度量。
如果这个结果最终被数学界接受，那么这个悬了许久的问题，将被彻底解决。
两块圆盘，一道接缝
为什么从「非负」跨到「正」这么难？其中一个原因很微妙。
布伦德尔（Brendle）和舍恩（Schoen）的微分球定理证明过，如果一个流形上的正曲率太均匀，也就是在任意一点、任意方向上，最大曲率和最小曲率之比都不超过4，那这个流形一定和标准球面「光滑等价」。
换句话说，怪球上的正曲率必须正，但不能正得太均匀，否则它就不再是怪球了，因此留给构造的空间极为狭窄。
论文的核心思路，是把每一个怪球切成两半。
具体地说，作者采用了杜兰（Durán）、普特曼（Püttmann）和里加斯（Rigas）提出的「双圆盘模型」。
在这个模型里，每一种七维球面都可以看成两个七维圆盘沿着各自的边界粘合而成，28种球面对应28种不同的粘合方式。
△AI生成
于是，问题就变成了：能不能在每块圆盘上分别造出一个处处向内弯的度量，而且两块圆盘在接缝处严丝合缝。
作者并不是直接在七维圆盘上造度量，他们先以三维球面 S³ 为纤维的「主丛」（principal bundle），把问题搬到了一个十维空间里。
具体来说，在七维圆盘的每一个点上，都站着一个三维的小球，所有这些小球加在一起，就构成了一个十维的空间。
在这个十维空间上造度量，技术上更容易控制。
然后，他们通过一种叫做「黎曼淹没」（Riemannian submersion）的操作，把十维空间的度量「投影」到七维圆盘上。
这里有一个关键的数学工具叫做「奥尼尔公式」（O’Neill formula）。
这个公式保证了一件事：从十维投影到七维之后，曲率只会变大或不变，不会变小。
所以作者只需要在十维空间里把曲率做到正的，投影下来的七维度量就自动满足条件。
而在十维空间里做到正曲率的核心技巧，是把那些三维小球的「半径」取到极小。
纤维越细，它自身的弯曲程度就越大，这份巨大的曲率足以压住其他方向上可能出现的负曲率贡献。
但是，两块圆盘的构造方法并不对称。
「南盘」用的是一个弯曲的底盘加上精心选取的联络（connection），「北盘」用的则是扁平的乘积联络配合翘曲的径向轮廓。
两种方法各有各的技术难点，但它们在边界处必须完美对接，具体需要满足两个条件。
一是边界上诱导出的度量要完全一致，二是两侧的「第二基本形式」（second fundamental form），也就是边界处的弯曲程度，加起来之后在每个方向上都严格为正。
△AI生成
为了证明这两个条件，论文先在两块圆盘的公共边界上建立同一套坐标，然后证明在这套坐标下，两侧的纤维半径关于法向的导数刚好相反。
所以，纤维部分对第二基本形式的贡献在拼接时正好抵消，而角向部分的贡献加起来是严格为正的。
满足这两个条件之后，赖泽（Reiser）和雷斯（Wraith）的拼接定理就能保证，粘合后的整个球面上存在一个光滑的正曲率度量。
于是，论文得到了其核心结论，28种七维球面，每一种都能配上截面曲率严格为正的度量。
论文还附带了一套用SageMath编写的验证代码。
整个构造涉及大量曲率不等式的精确估计和参数选取，仅靠人工逐一核查几乎不可能完成，计算机验证在这里是证明可信度的重要支撑。
丘成桐与AI这三年
丘成桐对AI的态度，这几年经历了一条清晰的变化轨迹。
2023年4月，在复旦大学出席浦江科学大师讲坛前夕，他曾表示，「AI不可能对最尖端的数学家有任何影响，它还只能把现有的资料融会贯通，很难形成科学观念上的突破」。
2024年4月，他在中关村论坛上的说法稍微软化了一些，他对AI的看法从「不会有任何影响」，变成了「对数学有很多好处，可以帮助数学的发展」，不过他坚持认为AI不可能改变数学。
到了今年，他的口风已经明显不同。
1月份在世界华人数学家大会上，他说AI改变的是科研效率，但还谈不上范式革命；
6月份，他又说AI能解很多「nice, cute questions」，但离改变整个数学的突破还很远；
7月份在国际弦理论大会上，他已经主张学生应该尽早学习使用AI工具，认为查资料、找文献、归纳总结这些事情，AI都能帮上忙。
然后就是这篇论文，他和两位合作者在致谢里感谢了ChatGPT 6 Astra和Claude Pro「在部分证明策略的探索和计算中提供的帮助」。
论文紧接着补了一句，人工验证和论文写作的责任由作者自己承担，尽管依然克制，但和三年多之前的那句「不会有任何影响」相比，丘已经不再把AI挡在自己的研究之外了。
总之，AI在数学界的存在感已经强到让顶尖数学家集体表态。
陶哲轩是这一波AI浪潮里最早拥抱AI的顶尖数学家，他把AI当作「研究助理」，用它辅助代码生成、文献检索和形式化证明验证。
但他和今年的菲尔兹奖得主邓煜等25位菲尔兹奖得主联合发表了一份声明，警告AI公司把解决数学问题当作benchmark来冲刺的做法，与数学共同体的目标已经出现「严重偏移」。
在他们看来，数学研究的核心追求是概念理解与洞见，解题只是实现这个目标的工具。
丘成桐也表达过相似的观点。
就在论文发出四天之前，他表示，AI能够汇集既有知识、推动常规工作，但人往往因为已经得到想要的答案，反而不敢去问更重要的问题。
他认为，AI无法替代人类独有的原创思考和瞬时迸发的灵感。
丘成桐和陶哲轩对AI的关切，其实是相通的，他们都在追问同一件事，就是当AI越来越能解题，数学家还愿不愿意继续去问那些AI解不了的问题。
论文地址：
https://arxiv.org/abs/2609.29426
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